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By Lapeyre B.

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Tn ) où a = t0 < · · · < tn = b. Le pas ∆(τ) de la subdivision τ est ∆(τ) = sup{ti+1 − ti , 0 ≤ i < n}. Enfin on note Xτ = tend vers zéro. n i=1 [Bti+1 − Bti ]2 . Soit (τk , k ≥ 1) une suite de subdivisions dont le pas 1. Montrer que la suite (Xτk , k ≥ 1) converge dans L2 (P) vers b − a. 2. Montrer qu’il existe une sous-suite (kl , l ≥ 1) telle que la suite (Xτkl , l ≥ 1) converge presque sûrement vers b − a (On utilisera le lemme de Borel-Cantelli). 3. Soit ε > 0. Déduire de la question précédente que presque sûrement sup (s,t)∈[a,b]2 , s=t |Bs − Bt | 1 (s − t) 2 +ε = ∞.

Pour vérifier la qualité de production, l’ingénieur qualité prélève un composant et mesure la valeur de sa résistance. L’appareil de mesure quoique de bonne qualité induit une erreur aléatoire E sur la mesure. On suppose que l’appareil est bien calibré et que l’erreur est une variable aléatoire gaussienne N (0, σ2e ) indépendante de la quantité mesurée. Le résultat de la mesure est donc X = Θ + E. Le problème qui suit a pour but de donner une estimation de la resistance, alors que l’on connait le résultat X de la mesure.

On obtient alors, sans difficultés, le résultat important suivant connu sous le nom de théorème d’arrêt. 5 Si τ est un temps d’arrêt borné (τ ≤ C, presque sûrement avec C réel positif. Cette propriété est essentielle) par rapport à une filtration (Fn , n ≥ 0) et si (Mn , n ≥ 0) est une martingale par rapport à la même filtration alors : E (Mτ ) = E(M0 ). 1 On notera que le fait que τ puisse être infini ne pose pas de problèmes dans cette définition. 58 Cours de Processus Aléatoires Démonstration : Il suffit de remarquer qu’il existe un entier K tel que, presque sûrement, τ ≤ K et donc : NK = Mτ∧K = Mτ .